f =f(X - S )= f(-0.01,0.50)=-0.2698

f沿着-S 方向减小，f(X - S )= f(- ,0.50)=2 -2 -0.25， =0， = ，因此X = X - S = .

现在我们尽量减少f沿着S = 到X = 方向，

f =f(X )=-0.75, f =f(X + S )=f(-0.5,0.51)=-0.7599< f ,

f沿着+S 方向减小，因此

f(X + S )=f(-0.5,0.5+ )= - -0.75, =0,  = 

这给出了

                  X = X + S = 

方法二：模式搜索

现在我们生成第一个模式方向

                  S = X - X = - = 

同时最大限度减少f 沿着S 到 X 方向，因此

                  f =f(X )=-1.0

                  f =f(X + S )=f(-0.5-0.005,1+0.005)

                   =f(-0.505,1.005)=-1.004975

f 沿着S 正方向减小

                 f(X + S )=f(-0.5-0.5 ,1.0+0.5 )

                          =0.25 -0.50 -1.00

 =0,  =1,因此

                X = X + S = +1.0 = 

点X 可以确定为最佳点。

    如果在这一阶段不承认X 为最佳点，我们继续减少f沿S = 到X 方向。这样我们将得到

         f =f(X )=-1.25  f =f(X + S )> f 

                          f =f(X - S )> f 

这表明f不能沿着S 方向最小化，因此X 将是最佳点。在这个例子中，收敛在第二个周期中已经完成了。在这种情况下，f作为一个二次函数，所使用的方法即二次收敛法。

6.8 单纯形方法

定义：单纯形   在n维空间中一组n+1个点的集合所形成的几何图形，被称为单纯形。当点是等距离时，单纯形据说是常规的。因此，在二维空间中，单纯形是一个三角形，而在三维空间中则是一个四面体。

单纯形法的基本思路是比较一般单纯形在n+1个顶点的目标函数值，并在迭代过程中逐步走向最佳点。下列公式可以用来在n维空间中生成大小为a的普通单一顶点(在二维空间中的等边三角形)[6.10]：

        X =X +pu + ,   i=1,2,…,n        (6.46)

这里

       p= ( +n-1)  q= ( -1)          (6.47)

这个单纯形法不应该与线性规划的单纯形法混为一谈，其中X 是最初的基准点，u 是沿第j个坐标轴的单位向量，这种方法最初是由Spendley,Hext先生和Himsworth先生提出来的，后来经Nelder和Mead发展起来[6.11]。单纯形法的运动是通过三种操作形成的，即反射，收缩和扩张。

6.9.1 反射

如果X 是单一顶点中与最高目标函数值相一致的顶点，我们预期反射在对面面上的点X 可以获得X 的最小值。若是这样的情况，我们可以通过拒绝单一的点X 包括新的点X 来构建一个新的单纯形法，这个过程在图6.11中阐明了。如图6.11a，点X ,X ,X 形成了原始的单形，点X ,X 和X 形成新的单纯形。同样的，如图6.11b，原始的单纯形是由X ,X ,X 和X 给出的，新的则由X ,X ,X 和X 给出。此外，我们可以通过原来的单纯形法来构建一个新的，这个新的单纯形法是通过拒绝与最高函数值相一致的顶点形成的。 摆线针轮行星传动英文文献和中文翻译(4):http://www.751com.cn/fanyi/lunwen_52643.html