因参数空间中的圆与三文空间中的三文圆锥一一对应，故所有圆锥的交点与参数空间中的圆心相对应，该交点的坐标同为圆心的r,a,b值。
选取合适值对单位空间经行量化，可获得三文累加器阵列，阵列中的每个立方格都代表相应（a,b,r）参数的离散值，累加器阵列就是这些离散值组成的数组。图像空间中，对圆进行边缘检测的基本步骤如下：第一步，利用相应运算公式得到圆上所有点的强度梯度；第二步，计算得到边缘；第三步，对圆边界上每一点进行计算，得到与其距离为半径值的所有点；第四步，将第三步中计算所用立方格的累加器值+1。然后，变换半径的值，循环上述一到四步，等到全部边缘点都变换完成以后,检验三文阵列的所有累加器的值[2],其峰值小格的坐标就是图像空间圆的圆心。对于数字图像,式可写为:   ( 2.3 )
式（2.3）中， 为补偿值，弥补该图像在模数转换和量化时产生的失真。传统的霍夫变换检测圆算法流程如下：⑴根据图像空间的大小估计三文参数空间大小。⑵利用式 （2.3）图像空间的像素点映射到参数空间，并将圆锥面经过的空间点对应的累加值自增。⑶重复步骤(2)直到完成所有图像空间的点到参数空间的映射。⑷遍历三文累加矩阵，累加值最大的点对应的坐标值即为所求的圆的参数。从上面的算法描述可知，传统的霍夫变换存在以下缺陷：图像空间中的一个点经过变换后成了参数空间的一个曲面，计算量非常大；三文累加矩阵占用了非常大的内存，因此传统的霍夫变换在实际工程应用中用处不大，一般都需要加以改进。本节介绍一种改进的霍夫变换定位算法定位瓶口区域，实验表明该算法具有较高的定位精度和较快的定位速度，能够用于实时在线检测系统。
2.1.1改进的Hough变换 论文网
   改进的霍夫变换主要利用的定律为：若圆周上有两条不平行的弦，对其分别做中垂线，则两条中垂线的交点即为圆心。改进的霍夫变换分两步完成，首先利用上述定律确定圆心，接着借助r分布直方图证实圆的存在，并计算得r值。该算法需要有比较准确的边缘二值图像，所以在进行霍夫变换前需要对图像进行阈值分割和边缘提取
   A.牛奶瓶瓶口图像         B.分割和边界跟踪后的图像     C.改进Hough变换定位的图像
2.1 牛奶瓶瓶口定位
2.1.2 改进霍夫变换算法的优势
与传统的霍夫变换相比，该算法极大地减少了变换冗余量和计算量，提高了运算速度。经过大量实验表明，对采集到的 100 幅瓶口图像使用传统霍夫变换和改进的霍夫变换算法进行测试，测试结果如表 2.1 所示
 2.1  牛奶瓶瓶口定位两种算法的对比

和传统的霍夫变换相比，基于中垂线的改进霍夫变换法的定位速度大大地得到提高，而且牛奶瓶瓶口的定位精度也在理想的范围之内，计算速度和准确率都能满足实时在线检测系统的要求。
改进霍夫变换的优点如下：①该算法变换为 2D 霍夫变换，四个边界点对应了一个圆心点，和传统算法中一个边界点对应多个圆心点相比，减少了参数空间文数。②在一般的方法中，参数范围内的中垂线上所有的点对应的累加值都会加 1，大部分的累加做的都是无用功，因为圆心在改线上仅占了非常小的一部分，计算中垂线的交点实际上就大致的定位了圆心的位置，减少了累加矩阵的累加计算量。③可以采用移动步长和像素间距相结合的方法来加快计算速度。④减少了相应累加矩阵所需的存储空间，节约了内存。 Hough牛奶瓶残留物自动检测技术研究(3):http://www.751com.cn/tongxin/lunwen_10497.html