椭圆的生成路径研究(2)

下面将从各个角度，即着眼点的不同来分析椭圆的生成路径.

3 椭圆的生成路径

3.1 目前教材中给出的椭圆的定义

苏教版高中数学选修2-1的课本上已给出了椭圆的两种定义：第一定义与第二定义.

3.1.1着眼点———椭圆上的点与两定点的关系

【路径一】椭圆的第一定义

平面内到两个定点的距离和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.即在平面直角坐标系中，设椭圆上任意一点P到定点的距离之和为定值2a（2a> ），这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距.记为2c.椭圆的标准方程为：

. （1）

=2a叫做椭圆的长轴，CD=2b叫做椭圆的短轴，且满足 . 该轨迹的生成思路是：类比圆的定义.圆是到定点距离为定值的点所组成的图形；而椭圆是到两定点距离之和为定值的点所组成的图形.

3.1.2着眼点———椭圆上的点与定点、定直线的关系

【路径二】椭圆的第二定义

平面内到一个定点F和到一条定直线（F不在上）的距离的比等于常数e的点的轨迹称为圆锥曲线.当0<e<1时，它表示椭圆.

思路：圆锥曲线的统一定义.当0<e<1时，点得轨迹是椭圆

当e>1时，点得轨迹是双曲线

当e=1时，点得轨迹是抛物线

3.2多种视角下的椭圆生成路径

椭圆的第一定义与第二定义是高中课本上给出的两种生成路径，下面将从斜率、包络、直线的交点、圆与圆相切、参数方程、平行线的角度来分析椭圆的生成，同时将会给出在某一角度下，生成椭圆的思路.文献综述

3.2.1着眼点———从斜率的角度

【路径三】椭圆的第三定义

1．命题

已知直线AB、AC相交于点A，且它们的斜率之积为，求点A的轨迹方程.

解：设，则（2）

即（3）

所以（4）

所以点的轨迹方程是：

（5）

2．证明

推广到一般的情况，已知两个定点B（-a，0），C（a，0），直线AB,AC相交于点A,且它们的斜率之积等于定值（a，b>0）的动点A的轨迹方程是；

其轨迹为：

当a>b>0时，以B、C为长轴顶点的椭圆（除去B、C两点）.

当b>a>0时，以B、C为短轴顶点的椭圆（除去B、C两点）.

当a=b=0时，以B、C为长轴顶点的椭圆（除去B、C两点）.

此结论的逆命题是：椭圆（a>b>0）长轴的两个顶点与椭圆上，除这两个顶点外的任一点连线斜率之积为 .