傅里叶系数计算公式[1]  设函数 是以 为周期的函数且在 上可积和绝对可积．论文网

　　计算 的傅里叶系数的Euler-Fourier公式为

                 .                               　　　　　　　　　　　　　　

　　如果三角级数 中的系数满足公式 和 ，则称该三角级数是函数 在 上的傅里叶级数．    

2  特殊性状的函数对应傅里叶系数的性质

2.1  函数与系数具有相同的线性组合性质

若 的傅里叶系数分别为 ，则函数

的傅里叶系数为

证明  根据傅里叶系数的计算公式 和 ，可得

同理可得

2.2  奇、偶函数傅里叶系数的性质[1] 

    当函数 为奇函数或偶函数时， 的傅里叶系数有简单的形式：

 当 为偶函数时，系数 ，且 变为

 当 为奇函数时，系数 ，且 变为

2.3  函数与其各阶导函数傅里叶系数的关系

　　命题1[1] 设以 为周期的连续函数 在 上按段光滑（即在 上除了至多有有限个第一类间断点的 的导函数在 上除了至多有限个点外都存在且连续，在这有限点上导函数 的左、右极限存在）, 在 上可积且绝对可积，则 的傅里叶系数 与 的傅里叶系数 有关系文献综述

证明  因为 是 为周期的连续函数，所以 ，从而有

再由分部积分公式可得

即                  

同理可以证得

命题1的推广[5]  设以 为周期的连续函数 在 上按段光滑，有直到 阶 连续导函数，且 阶导函数 在 上可积且绝对可积，则 的傅里叶系数 与 的傅里叶系数 有关系：

 当 为奇数时

                    ，　       

 当 为偶数时

                    ，　    

其中 为满足 的虚数单位．

证明　因为以 为周期的连续函数 在 上有直到 阶连续导函数,则有 , ,从而 ，再由命题１知

继续下去可得

假设对于 时有

　　　　　  ， 

成立.

   因为函数 有直到 阶连续导数，根据分部积分公式可得

从而

　　　　　 ，  

由数学归纳法得 时成立,所以

当 为奇数时

           ，　 

同理可以证得

当 为偶数时来~自^751论+文.网www.751com.cn/ 浅析傅里叶系数的性质(2):http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_74601.html