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二阶变系数齐次常微分方程的求解问题(2)

时间:2020-05-08 21:04来源:毕业论文
为了书写的简便,本文中自变量用 表示;未知函数用 表示;常微分方程用 表示;二阶变系数齐次常微分方程用 表示;偏微分方程用 表示;线性常微分方

    为了书写的简便,本文中自变量用 表示;未知函数用 表示;常微分方程用 表示;二阶变系数齐次常微分方程用 表示;偏微分方程用 表示;线性常微分方程用 表示

1.1  常微分方程

  定义 :自变量的个数只有一个的微分方程.

下面举几个例子看一下

例 1       .                                

例 2       .                                 

例1和例2就是 ,  表示未知函数,  表示自变量.

例 3       .                                  

例 4       .                                          

例3和例4就是我们所定义的 , 此处 表示未知函数, 表示自变量.

1.2   高阶微分方程

定义 : 的最高阶导数,就称做 的阶数.

例1是二阶 , 而例3和例4是二阶 . 阶 : 

这里 是 的已知函数, 而且一定含有 ; 表示未知函数,  表示自变量. 

1.3  线性微分方程

    假设 左侧是 , 和 的一次有理整式,它称作 阶 .

一般的 阶 :

这里 是 的未知函数.与 对立的方程就称作非 .

例如,方程:

是二阶非线性微分方程.    

1.4  齐次微分方程

我们讨论如下的 阶 1)

这里 及 都是区间 上的连续函数. 如果 , 则此方程变为:

通常称作 阶齐次 (或为“齐次 ”).而称(1)为 阶非齐次 ,(或为“非齐次 ”).

2.二阶变系数齐次常微分方程的求解方法

2.1常系数化法

大多数变系数 都可以用幂级数这一方法来求解,但是我们知道,这样得到的解常常是一个无穷级数,对于研究和解决其它问题极不方便. 而对于常系数齐次 我们是容易求解的.因此,我们想能否可以将 化为我们容易求解的常系数 来求解呢?

2.1.1  保线性变换

    在常微分方程中,如果对一个方程进行变换而保证它的线性性质没有改变,那我们就称这样的变换是保线性变换.线性变换虽然在形式上有很多种,但都大同小异,没有本质的区别.

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