扩展  由性质1我们还可以得出这样一个结论,设 , 为定义在区间 上的凹函数,则 为区间 上的凸函数.
性质2[3]  若函数 , 在区间 上为凹函数，则 在区间 上也为凹函数,其中 , .
性质3[7]  设 是由 和 复合而成 的，若 在区间 为凹函数,且 是在区间 上单调递增的凹函数,则 在 为凹函数.
性质4[1] 设 在区间 上可导,则 在区间 上为凹函数的充要条件是对于 ,   ,总有   
性质5[13]  在区间 上为凹函数,当且仅当对 , , ,且 时，有 .            
   性质6[9] 如果 在区间 上是凹函数，则当 且 ， ,2... ，有不等式 .
    推论1[9] 若 在区间 上为凹函数，则对于  ,2... ,有 .
性质7[1]  设 在区间 上二阶可导，则 在区间 上为凹函数的充要条件为 , .
    性质8[9] 若函数 在区间 上为凹函数,那么对 ,函数 ( )在区间 上单调递减.其中区间 是除去 所得的区间.反之亦成立.
性质9[3] 设 是定义在区间 上的连续函数，如果 符合以下两个条件：(1) 在 内除了仅有的有限个第一类间断点外都连续，其中 是有限的,间断点 ( ,2,3 )满足 ,( ,2,3 );
(2) 在区间 上最多除了点 , ,2,3 以外都大于零.则 在区间 上为凹函数.
    性质10[8] 设 为 的一个凹函数  在 上可积，其值域在 的一个子区间内，且符合不等式 .
性质11[2] 设 为区间 上的连续正值函数,那么 为区间 上的弱对数凹函数  为区间 上的凹函数.
性质12[2]  设 为区间 上的具有二阶可导的正值函数,那么 为区间 上的弱对数凹函数  .
性质13[12] 设 是定义在开凸集  上的凹函数,则 关于 递减,其中 .
    注  性质13可以得以下结论,当 , 的极限就是 在 处关于方向 的单边方向导数 .当 , 的极限就是 在 处关于方向 的单边方向导数 .由此可知,凹函数在其定义域内存在单边方向导数.
3.凹函数性质的应用
3.1求函数的最大值
   例1 设 ,它的定义域为 ,问 取何值时, 有极大值.
   证   设 , .因为 , .
当 , ,  ,即 在 上是单调递增的凹函数.当 ， ,  ,即在 上单调调减的凹函数.当  时, =0,则 有极大值,即 .      
   例2 设 ,其中 , , ,求 的最大值.
   解 令 ,因为 ，故 为递增的凹函数.设 .又因为当 时， 故 在 上是凹函数.由性质3知， 在 上是凹函数. 凹函数的性质及应用(2):http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_37091.html