1.1小世界理论的研究背景及相关概念
1.1.1 复杂网络拓扑结构
人们把网络不依赖于节点的具体位置和边的具体形态就能表现出来的性质叫做网络的拓扑性质，相应的结构叫做网络的拓扑结构。网络拓扑结构经过以下3个发展阶段:在最初的100多年里，科学家们认为真实系统各因素之间的关系可以用一些规则的结构表示。到19世纪50年代末，数学家们想出了一种新的构造网络的方法，即两个节点之间连边与否不再是根据一个概率决定的，这样生成的网络叫做随机网络(Random)，在接下来的40年里它一直被认为是描述真实系统最好的网络。直到最近几年，科学家们发现大量的真实网络既不是规则网络，也不是随机网络，而是具有与前两者皆不同的统计特征的网络。这样的一些网络被科学家们叫做复杂网络，对于复杂网络的研究标志着第三阶段的到来。
    复杂网络拓扑结构的不确定性是复杂网络研究的基本问题。20世纪中叶，Erdos和Renyi突破传统图论，用随机图描绘了复杂网络拓扑。近年来研究发现，很多实际的复杂网络既不完全规则也不完全随机，而是介于完全规则和完全随机这两个极端之间，既具有类似规则网络的较大集聚系数，又具有类似于随机网络的较小平均路径长度，这就是小世界网络。人际关系网络中的751度分离就是小世界网络的经典例子。
大多数早期文献中都有关于751度分离的描述，1967年，哈佛大学社会心理学家斯坦利米尔格拉姆(Stanley Milgram)作了这样的一个实验，他要求300多人发信把他的一封信寄到某市一个“目标”人。于是形成了发信人的链条，链上的每个成员都力图把这封信寄给他们的朋友、家庭成员、商业同事或偶然认识的人，以便尽快到达目标人。实验结果是，一共60个链条最终到达目标人，链条中平均步骤大约为6。人把这个结构说成“751度分离”并广为传播。
应该注意到三种概念在当代对复杂网络的思考中占有重要地位。a.小世界的概念。它以简单的措辞描述了大多数网络尽管规模很大但是任意两个节点间却有一条相当短的路径的事实。b.集群即集聚度(Clustering coefficint)的概念。集聚程度的意义是网络集团化的程度;这是一种网络的内聚倾向。c.幂律(Powerlaw)的度分部概念。度指的是网络中顶(节)点(相当于一个个体)与顶点关系(用网络中的边表达)的数量;度的相关性指顶点之间关系的联系紧密性;介数是一个重要的全局几何量。
1.1.2  小世界理论的相关概念
Watts和Strogatz于1998年提出小世界网络(Small World Network，简称SWN)模型，比较合理地反映了既不完全规则也不完全随机的网络的统计特性。节点的度分布是网络拓扑的重要特征。小世界网络和随机网络的节点具有大概相同的链接数，即度分布服从均匀的或者指数分布。然而，很多实际网络的节点度分布服从幂律形式，并且通常这种网络不同于服从均匀分布或者指数分布的网络，存在一些度很大的节点，但是大部分节点的度都很小。因为幂律分布没有任何特定的尺度，所以这种网络称为无尺度网络。
规则(Regular)网络(如图1.2.2.1中左图)是遵循一定规则建立起来的网络，网络之间任意两点的联系都遵循既定的规则。但是研究发现，现实的小世界并不是规则网络，人类之间的人际关系，并不能用既定的规则去描述。与完全规则的图相反际关系，并不能用既定的规则去描述。与完全规则的图相反也就是这个网络中两个节点之间的连接是完全随机的，没有一定的规则可言。当然这种完全随机的描述方式也不符合我们实际网络的特性。751度分离实验中的信件传递过程是有目的的，每个人都是往自己认识的最接近目标人物发送信件。因此751度分离不能用随机网络来解释。 中国学术界和华人影视界X度空间理论初探(2):http://www.751com.cn/jisuanji/lunwen_9455.html