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切比雪夫不等式的探讨+文献综述(2)

时间:2017-06-12 19:48来源:毕业论文
为随机变量 的数学期望,或称为该分布的数学期望,简称期望或均值.若级数 不收敛,则称 的数学期望不存在. 定义2 设连续随机变量X的密度函数为 ,如


为随机变量 的数学期望,或称为该分布的数学期望,简称期望或均值.若级数 不收敛,则称 的数学期望不存在.
     定义2  设连续随机变量X的密度函数为 ,如果         ,
则称为 的数学期望.
    数学期望的性质:
性质1  若c是常数,则 .
性质2  对任意常数a,有 .
性质3  对任意的两个函数 和 ,有
性质4   性质5   .
    定理1  若随机变量 的分布用分布列 或用密度函数 表示,则 的某一函数 的数学期望为
1.2  随机变量的方差与标准差
定义3  若随机变量 的数学期望 存在,则称偏差平方 的数学期望 为随机变量 的方差,记为 .称方差的正平方根 为随机变量 的标准差,记为 ,或 .
计算公式为    方差的性质:
性质1   .
性质2  常数的方差为0,即 ,其中c是常数.
性质3  若a,b是常数,则 .
性质4   .
2  切比雪夫不等式的证明
定理2  设随机变量X的数学期望与方差都存在,则对任意的常数 ,有
证明  ①设X是一个连续随机变量,其密度函数为 .记 ,我们有
    由此知 对连续随机变量成立,对于离散随机变量亦可类似进行证明.
②设X为离散型随机变量,其概率分布为 ,其中 . 分别以 取得值 .则事件 表示随机变量 取得所有满足不等式 的可能值 ,该事件的概率为
                    对离散型随机变量亦成立.
在概率论中,事件 称为大偏差,其概率 称为大偏差发生概率.切比雪夫不等式给出大偏差发生概率的上界,这个上界与方差成正比,方差愈大上界也愈大. 切比雪夫不等式的探讨+文献综述(2):http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_9103.html
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