1） 至少有两个右逆元；
2） 没有左逆元；
3） 是左零因子.
证明 1） 2）设 是 的两个不同的右逆元，则                     
假设 有左逆元 ，那么                     .
根据乘法的结合律可得到
                     ，即 .
这与 矛盾，因此 没有左逆元.
    2） 3）设 是 的右逆元，所以而                       
故 是左零因子.
3） 1）设 是 的右逆元，由题意知 是左零因子，即存在 ，使得                       .
又                 ,
故 也是 的右逆元，易知 ，所以 至少有两个右逆元.
    定理2.1.2 若 是 的一个左零因子，则对任意 ， 或者是零元或者是 的一个左零因子；
    若 是 的一个右零因子，则对任意 或 是 的一个右零因子.
证明 因为 是 的一个左零因子，所以在 中存在 ，使得 .
对任意 ，当 时， 是零元. 环的零因子的探讨+文献综述(3):http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_8145.html