第二种方法是化为约当标准型或者对角标准型法.这种方法就是将矩阵 化为约当标准型或者对角标准型,然后再求出约当标准型或者对角标准型的矩阵指数,再用矩阵指数的性质求出矩阵指数. 这种计算方法求得的结果比较精确,而且这种方法不但适用于计算机编程,还适用于手工计算,并且计算出来的结果是解析表达式.但这种方法也存在其局限性,解题的过程中需要求解非奇异矩阵的逆,如果阶数比较高的话,计算量会非常大文献综述

本文通过对矩阵指数的概念、性质、计算及应用的研究引入了矩阵对数,从而对矩阵对数进行深入的研究与发现.

首先,本文介绍了矩阵指数的定义,即给定矩阵 ,矩阵指数方程 的解集或者通解,用 表示,如果 非空,则称 有对数矩阵,并且把 叫做矩阵 的对数.以及矩阵对数存在的条件,即一个矩阵 有对数矩阵,即 非空的充要条件是它与某个正实化Jordan(若尔当)式矩阵相似.[8]

其次,本文介绍了矩阵对数的反scaling and squaring算法的基本思想.反scaling and squaring算法是计算矩阵对数的有效方法.其思想是利用等式 ,先逐次精确计算矩阵平方根（给定一个矩阵 ,若存在 ,使得有 成立,则我们就把 称为 的平方根）.当 靠近单位矩阵时,利用 逼近估计 ,进而计算 .反scaling and squaring算法的主要工作量是逐次计算矩阵平方根.[7]

本文还介绍了一种计算矩阵的简便工具——MATLAB.我们可以通过MATLAB运用代码很快的计算出一些简便的矩阵运算,比如：求已知矩阵的逆矩阵、矩阵的秩、矩阵的三角分解等等.[10]

最后,本文用Matlab对给定矩阵 用DB迭代和 逼近的方法计算矩阵 的矩阵对数.

第一章     矩阵指数

本章我们将介绍矩阵指数的相关知识,为之后的矩阵对数的讨论奠定基础.

1.1  矩阵指数的定义

本节主要介绍矩阵指数的定义,其中涉及指数函数和幂级数.我们首先给出矩阵幂级数的确切定义.

定义1.1.1：设数列 是复数域上的无穷数列, ,那么我们称 为矩阵幂级数.

矩阵幂级数 包含着 个级数,当且仅当其中的每一个级数都收敛时,矩阵幂级数是收敛的.特别的,对任意的 ( 为复数),矩阵幂级数 是绝对收敛的.

定义1.1.2：设 ,那么称含有参数 的矩阵幂级数 为矩阵 的矩阵指数,我们把它记为 .来.自/751论|文-网www.751com.cn/

特别的,若 ,则 .如果我们把它实际应用到工程领域中,那么矩阵 多为实矩阵,参数 则多为时间变量,在以下的内容中,我们假定矩阵 均为实矩阵,参数 为实数变量.

1.2  矩阵指数的性质

矩阵指数是方块矩阵的一种矩阵函数,它与指数函数相类似.

设 为 的实数或复数矩阵. 的指数,我们用 或 来表示,是由以下幂级数所给出的 的矩阵：