定理 2     设定理1的条件满足，若x（t）是满足初值条件（2）的解，而 是（1）满足初始条件(9)的解，那么对0﹤t h，有

         ，                    (10)

其中 是Mittag-Leffler函数。

总的来说，分数阶微分方程的基本理论还并不完善，方程组的存在唯一性定理，解的整体存在定理，关于参数和初值的可微性定理，以及更复杂点的分数泛函微分方程的一些基本理论等，都需要进一步得到确立。进入21世纪之后，随着科学技术的进一步发展，分数阶微分方程的研究也越来越吸引科学家的兴趣。数学家Caffarelli就是其中的一位，他的研究主要集中在相关的非线性椭圆型偏微分方程上。尤其是他曾经研究过自由边界问题，有关对一些非线性椭圆方程的粘性问题的正则解，椭圆微积分方程，还有一些对于复合材料的优化设计的问题。他认为，微积分方程是在研究随即跳跃过程中自然产生的，在金融和物理中有着很多的应用。它们同样是椭圆型微分方程自然推广。对于椭圆型偏微分方程，有一个有关弱解和正则性结果的完备的结论，即使在完全非线性的情况下也会成立。这些结果的大多数似乎也是微积分方程中的一类。在许多情况下，总结并得出结论并不是直线进行的，而是通过提出一个有趣的数学挑战得出的，微积分方程的研究是一个相对比较新的领域，在数学领域中充满着开放性问题，最近正吸引着越来越多的数学爱好者。他已经从事了Laplace算子上的障碍问题，也从事了有关对于微积分方程正则解的更一般的问题。他最近正从事的研究有关微积分方面的问题还有：分数阶Laplace算子的障碍问题和Signorini问题(就是薄障碍问题，与分数阶Laplace算子的障碍问题有很大的关系)；非线性微积分方程；最优复合材料等。

1.2 本文的主要内容和结构安排源.自/751·论\文'网·www.751com.cn/

本文主要是通过研读Caffarelli和Silvestre两位作者对分数阶Laplace分方程的文献，然后结合自己对其他数学家对分数阶Laplace方程的研究以及自己对分数阶Laplace方程的理解，总结归纳两位作者的文献，给出分数阶Laplace方程的另一种解释，丰富有关对分数阶Laplace方程这方面的说明。

本文绪论主要介绍分数阶Laplace方程的研究背景和研究现状，并给出本文的研究意义。

然后引入一个给定条件下的分数阶Laplace算子，并对它进行必要的说明和阐述。

第二章介绍一下偏微分方程(PDEs)的性质。

第三章说明PDEs与分数阶Laplace算子的联系。

第四章我们将在一个球内求解Laplace方程的边值问题，对原问题进行偶延拓。

第五章引入Harnack不等式，并做出边界Harnack型估计。

第六章介绍单调公式。

最后给出结论，归纳本文的一些中心思想，说说对本文的一些看法。