3.1  对称思想在几何题中的应用

几何是数学中的一大分支，在中学数学中占有重要的地位，特别是解析几何，高考试卷中的解析几何题常常令广大考生无从下手. 其实解析几何题中往往蕴含对称性，只要我们能够找到其中的对称，这类题目就不难解决了.比如下面的例题： 

例1 在平面直角坐标系中有一个圆，圆心是 且该圆包含原点，设此圆在第一象限及第三象限的面积之和为 ,在第二象限及第四象限的面积之和为 ，求 的值 .                                   

分析 从图中我们可以知道  , 但是由于圆的半径不知道，所以组成 , 的四个部分的面积不可以用式子计算，进而要想用代数式计算 是很困难的.      但是，如果注意观察图形，找到其中的对称性，这个问题就很容易地解决了. 

解 作 轴， 轴关于点 的对称直线 交点分别为 如图，那么由对称性   

      =  

显然，当 时，  . 

故所求  .  

例2 已知椭圆 的直角坐标系方程为 ,试确定 的取值范围,使得对于直线 ,椭圆 上有不同的两点 关于该直线对称 .

    分析 不引入参 源:自~751·论`文'网·www.751com.cn/                     

数,本题难以深入思                                              

考.由 可以互                                        

换,是“对称”的.故                                           

设 的坐标分别

为 , .由“对称元分析法”,我们应把注意力集中在 ， 等对称元上.为了求 范围,联系 在椭圆内，故

      .          ①

下面我们只要能用 表示对称元 ， 就解决问题了.显然

   .          ② 

 又由    作差得

      ,

     由于 ，代入得

      ,           ③

 ②，③联立得   代入①得

 . 

注  孤立地认识参数,思路就难以奏效.熟悉“对称元分析法”,还可建立“判别式”,联想“韦达定理”来完成,其思路同样也显得自然合理. 

   例 3 在平面直角坐标系中，已知椭圆 的离心率 ， 分别是椭圆 的左、右两个顶点，圆 的半径为 ，过点 作圆 的切线，切点为 ，在 轴的上方交椭圆 于点 . 

(3) 设 为常数，过点 作两条相互垂直的直线，分别叫椭圆 于点 ， ，分别交圆  于点 ， ，记 和 的面积分别为 ， ，求  的最大值