定理5  （Cauchy判别法2）设 是正项级数，

    (1)如果从某一项开始（即存在 ，当 时），存在规律 （ 为常数），那么，有级数 收敛；

    (2)如果从某一项开始， ，那么，有级数 发散.

    例2  试判断级数 的敛散性.

    解  运用定理2得,

 ，   显然，这样的极限是不存在的，运用定理2,3,4是无法解决的，下面，我们运用定理5来解决问题，有：

 ，那么由定理5知，原级数收敛.

注  凡是可以用比式判别法（达朗贝尔判别法）判定敛散性的正项级数一定可以使用根式判别法（Cauchy判别法）进行判断，这也是我们研究根式判别法的意义所在，它的级别更高，使用起来更加方便.源'自:751`!论~文'网www.751com.cn

4  正项级数敛散性Cauchy判别法的推广

4.1  广义Cauchy判别法一

    定理6  设 是正项级数，若 （ 是大于1的正整数），那么：

（1）当 时，级数发散；

    （2）当 时，级数收敛；

    （3）当 时，级数可能收敛也可能发散.

    证明  因为 ，由极限的定义知： 当 时，有：

   ,       

当 时，有 足够小，使得 ，那么，存在 ，当 时，即 ，故而有 ，所以原级数 发散

当 时，有 足够小，使得 ，那么，存在 ，当 时， 成立，又因为 （m 1），而正项级数 收敛（ ），那么由比较判别法知，级数 收敛，所以原级数 收敛.

当 时，取 为 级数 ，那么，有:  .                           

 但是发现： 收敛， 发散，所以，当 时，级数可能发散也可能收敛.

4.2  广义Cauchy判别法二

定理7  设 是正项级数，如果  （其中 ）,那么：

(1)当 时，级数发散；

(2)当 时，级数收敛；

(3)当 时，级数可能收敛也可能发散.