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导数在不等式证明中的应用(2)

时间:2020-07-29 21:08来源:毕业论文
设函数 ,因为 ,则 在定义域内为单调递减.然而 ,则当 时, ,因而 ,所以 即从而证得 . 注1 辅助函数构造方法:将题目中需要证明的结论中的 换成

设函数  ,因为

 ,则 在定义域内为单调递减.然而 ,则当 时, ,因而 ,所以

即从而证得 .

注1  辅助函数构造方法:将题目中需要证明的结论中的 换成 ;将题目变成易积分形式;求出原函数,计算过程中可以令常数为零;④将不等号化为等号后将等号两端移到同一端,则非零端为所求辅助函数.

2.2  应用柯西中值定理证明不等式

    应用该定理证明不等式需要用到的知识有:

    定理2 (柯西中值定理) 设函数 和 满足

    (ⅰ)在 上都连续;

    (ⅱ)在 内都可导;

    (ⅲ) 和 不同时为零;

    (ⅳ) ,

则存在 ,使得

       

此类证明步骤如下:构造辅助函数 、 和所需要的区间 ;取 , ,根据上述定理有

 , ,

由 、 在 上的单调性,把 、 作恰当变化来证明不等式.

例2  当 时,证明不等式

 .

    分析  令 , , 和 在定义域上满足柯西中值定理的条件,故可以运用该定理证明.

证明  令 , ,从而原题可以转换为                         .

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