从上式可以看出，两个函数相乘的相对灵敏度函数等于两个函数本身相对灵敏度
函数之和。因此，作为一个复杂的系统，对活性污泥模型的灵敏度分析要采用相对灵敏度函数，这样有助于对整个系统灵敏度分析计算的简化和形象化。
在实际应用中，我们通过确定系统变量和目标变量（参数）之间的梯度关系，来反映系统变量对目标变量的灵敏度。对于一个复杂系统而言，假定参数向量P=[p1，p2，，pn]，系统变量向量Y=[y1，y2，，ym]，系统变量与参数的关系满足如下目标函数
yi=f(p1，p2，，pn)                (1.16)
则目标函数的梯度
           （1.17）
对每一个目标梯量，采用差分的形式近似表示为
             （1.18）
式中，E为与向量P列数相同的单位阵。
灵敏度矩阵S通过将目标函数的梯度表达式与相对灵敏度函数相结合而得到，该矩阵的任意元素满足下式
                       （1.19）
进行灵敏度分析首先必须进行模型参数的初始化。然后采用一次变化法来进行分析，即每次只针对一个参数，对其他参数取其初始值，用来评价模型对该参数每次发生变化时的变化量。具体变换方法可采用因子变化法，对要分析的参数取
                              （1.20）
这样即可得到在参数初始条件下的灵敏度矩阵，该矩阵的任意元素可表示为
                       （1.21）
在以前通常采用参数初始值时的灵敏度矩阵来表示活性污泥系统数学模型的灵敏度。这是因为活性污泥系统作为一个复杂的系统，描述活性污泥系统的数学模型是一个非线性模型，那么其灵敏度在不同的参数值下并不相同。因此，如果模型参数初始化不正确的话，那么模型对于10%的变化是不敏感的，这就需要用灵敏度曲线来表示参数取值对系统变量的影响。
 
基于以上讨论，灵敏度分析采用以下思路：在通过文献值或试验值确定参数的初始值后，有规律的改变其中某个参数的值，改变的范围控制在5%~10%，而暂时固定其余参数的值，研究该参数偏离初始值时对目标函数及系统有关性能的影响，以观察某些变量偏离初始值后所造成的影响。
⑵ 1.工艺流程及运行条件。本次灵敏度分析采用COST682/624文件中的
A/O处理流程，主要由缺氧池（A）、好氧池（O）和二沉池组成，其工艺流程如图1.21所示。
 
图1.6   COST A/O污水处理工艺流程

本次灵敏度分析只考虑初沉池后至出水前的构筑物。两个反应池体积分别为1620m3和4860m3；二沉池面积为1413.7m2，高度为2.3m，进水口距池底3.8m；进水流量为55000m3/d，污泥回流量为32000m3/d，污泥停留时间SRT为8d；初沉池出水COD为200mg/L，BOD为100mg/L，悬浮颗粒SS为100mg/L，总氮TN为45mg/L，其中氨氮NH3-N为30mg/L。
2.模型参数默认值及范围。COST682/624文件推荐的20度下参数默认值见表1.1。表1.1还列出了荷兰模拟方案建议的参数范围。
   表1.1  活性污泥系统模型参数默认及典型范围
模型参数    符号    默认值    参数范围    单位异氧菌产率系数    YH    0.67    0.46-0.69    g/g 湖泊水库的污染与治理污染物浓度数学模型建立(11):http://www.751com.cn/shuxue/lunwen_2690.html